Децата научават математика лесно, когато контролират собственото си обучение

Математиката извън училище е забавна, полезна и учена с радост

Автор: Питър Грей

 

 

Ние се страхуваме от нея и се отвращаваме от нея*; възхищаваме се, но в същото време сме и подозрителни към онези, които са добри в нея; поставяме й толкова голяма важност, че караме децата да я учат (или да се преструват, че я учат) почти всеки ден от всяка година, която са в училище; и я използваме като основен критерий за влизане в колеж. Поставяме математиката на пиадестал и после извъртаме очи или пък я заплюваме – както се случва с повечето неща, които поставяме на пиадестал.

Математиката е онзи училищен предмет, който не можем да заобиколим лесно. Това е едно от нещата, които я правят толкова страшна за много хора. Има правилни и грешни отговори на всеки въпрос. Да се справиш зле означава да се представиш като интелектуален инвалид (инвалид в логиката, неспособен, нелеп, глупав), така че страхът от провал е още по-голям в математиката, отколкото в другите учебни предмети, а страхът от провал винаги възпретятства ученето. Предполагат причината, поради която математиката важи толкова много на тестовете SAT и на приемните изпити и тестове в колежите е защото хората мислят за нея като са основната обща способност за разсъждаване. Но те грешат.

Първата стъпка в това да разберем математиката е да я откъснем от нейния пиедестал. Проблемите в реалния живот, които са важни за нас, са проблеми от сорта на: За кого да се оженя? Трябва ли да се омъжа? Трябва ли гейовете да могат да се женят? В каква кариера да се впусна и как да се подготвя за нея? Ако измисля „gizmo X“, хората ще го купуват ли? Трябва ли корпорациите да имат същите конституционни права като отделните личности? Математиката играе малко, ако въобще играе някаква, роля при решаването на такива проблеми, нито пък такива проблеми имат ясни, правилни или грешни отговори, доказващи се с някаква формула. Човешката интелигентност и разсъждаване се намират в мъдростта, а не в математиката. Мъдростта е способността да свържем своите ценности и предпочитания със знанията си за другите хора и техните предпочитания и не-предпочитания и с общото ни познание за света по начин, който води до практични решения на проблемите, пред които сме изправени – решения, които действат в полза на нашето собствено щастие, както и това на другите и намаляват собствените ни и чуждите нещастия. Математиката има своите цели, наистина има ценни цели в съвременния ни свят, но е далеч от сърцевината на разума и интелигентността. Хората са били интелигентни много преди математиката да бъде измислена. Някои от най-умните хора, които познавам – дори някои от най-добрите учени, които познавам – не са особено добри в математиката.

Втората стъпка в разбирането и преодоляването на математиката е да се осъзнае, че математиката не е особено трудна. Няма нищо магическо в нея. Не се нуждаете от някакъв дар или талант, освен от нормалния човешки мозък, за да я практикувате. Нито пък тя изисква хилядите часове на обучение, които се опитваме да наложим на учениците. В действителност тези хиляди часове принудителна работа по математика, направени за клас, а не за забавление или за практическа употреба, са това, което прави математиката да изглежда толкова трудна и смущаваща.

Най-доброто доказателство, от което аз знам, че математиката не е трудна, идва от опита на ънскулърите и Съдбъри училищата. Ънскулърите са семейства, които „обучават“ децата си в домашни условия (домашни ученици), но не следват учебна програма и не се движат по някакъв предварително зададен учебен план, нито пък оценяват децата си по някакъв формален начин. Съдбъри училищата са училища-последователи на училището Съдбъри Вали, където деца от всички възрасти са свободни да взаимодействат с когото изберат и са свободни да преследват собствените си интереси.  Ънскулърите и привържениците на Съдбъри училищата се противопоставят на нашите културни убеждения за това, което децата трябва да правят, за да успеят в нашето общество. Всички налични данни и доказателства показват, че децата в тези условия растат по-щастливи, по-продуктивни и по-етични членове на обществото, които продължават да поемат отговорност за собствения си живот и да учат през зрелите си години. (за препратки към изследванията на завършилите „Съдбъри Вали“ ученици, виж този пост – post of Aug. 13, 2008).

Преди няколко седмици поканих читатели на моя блог да ми изпратят истории за своето самоиницирано и самонасочващо учене на математика. Общо 61 читателя любезно откликнаха, някои от тях – с красиво написани истории, които сами по себе си могат да бъдат отделно публикувани материали. Аз съм изключително благодарен. Повечето от историите идват от ънскулинг родители, които описват обучението по математика, което са наблюдавали при своите деца. Отне ми няколко дни да организирам и анализирам качествено тези истории, за да извлека от тях общите теми, но сега вече съм изпълнил тази задача поне по един предварителен начин и съм готов да представя тези общи теми на вас.

Установих, че е удобно да организирам историито в четири категории въз основа на основния мотив, който изглежда е застанал в основата на изучаването на математика, което бе описано. Аз нарекох четирите категории по следния начин: игрива математика (която също може да се нарече „чиста математика“), инструментална математика (математика, научена като инструмент за решаване на проблеми, срещани в ежедневието), дидактическа математика (математика, изучавана според някаква учебна програма или план, поставена от някой, различен от учещия се) и математика за приемни изпити за колеж (математика, научена с изричната цел да се представят добре на изпити SAT или ACT или на някой друг тест, използван за прием в колежа). Докато разказвам историите за всяка от тези категории учене на математика, ще използвам само първите имена на разказвачите и изобщо няма да използват детските имена, тъй като някои пожелаха да останат анонимни. В това, което следва, си поставих свои собствени коментари в италик, а думите на разказвачите – в отделни булети, за да е по-удобно и да направлява вашето четене, ако решите да се разхождате из текста.

Математика като игра

Избрах да започна, най-радостно, с игривата математика – математиката като игра. Игривата математика е това, което някои наричат „чиста математика“. Това е, което истинските математици правят, и е същото, което правят и четиригодишните деца. Игривата математика е за числата онова, което поезията е за думите или което музиката е за звуците, или което е изкуството за визуалното възприятие. Ще пиша по-нататък за математиката, която е използвана като инструмент в игра, но сега става въпрос за математика, която Е игра – математика, правена по никаква друга причина освен за забавлението от нея и красотата от нея.  Игривата математика включват откриването или създаването на модели в числа, точно както поезията включва откриване или създаване на модели в думите, и както музиката включва откриване или създаване на модели в звуците, и както изкуството включва откриване или създаване на модели във визуалното пространство.

Четиригодишните деца имат умението да въведат целия свят около тях в сферата на играта. Те играят с думи така, че стават поети. Играят със звуци така, че са музиканти. Играят с моливи, бои и глина така, сякаш са художници. И играят с числа така, сякаш са чисти математици. Забелязах, че учениците в Съдбъри Вали, които са свободни от всякакъв наложен учебен план и натиск, не спират да играят, пораствайки. Те продължават да играят с думи, звуци, бои и числа и често стават доста добри в такава игра. Същото изглежда е валидно и за децата, израстващи в ънскулинг семейства.

Най-ранната математическа игра от малки деца обикновено включва откритията, че числата идват във фиксирана поледователност, че последователнотта се повтаря в обичаен (десетичен) начин и че веднъж щом разбереш модела – няма край на това до колко можеш да преброиш. Тук са три цитата от истории на ънскулинг родители, които илюстрират добре тази точка:

• Евелин пише за нейния 4 ¾-годишен син (който „настоява тези три-четвърти ( ¾) да бъдат включени“): „Когато разбра за онези рисунки, които са тип „свържи по точките“, започна да схваща, че номерата се движат в ред. Започна да брои на глас през цялото време – когато ходи, когато лежи в леглото и т.н. … Онзи ден играеше с един от приятелите си в училище и майка му изрази шок, че се справя толкова добре с числата от 10 до 20… Той преброи до трийсет за нея на испански език и след това й каза, че може да брои до един милион на английски. Оттогава, той брои сутрин, обед и вечер. Това, както можете да си представите, понякога може да е трудно за другите и трябва да си напомняме, че това е нещо хубаво!…Сега е на 5068…И когато аз казвам на хората, че той брои до един милион, той казва: „Не, десет милиона“. Надявам се, че мога да го оцелея! „

 

• Луси от Англия пише за сина си, който току-що е навършил 5 години: „Той преброи изведнъж до 100, ей така за забавление, докато се обличаше. Това беше първия път, в който осъзнах, че той може да прави това. Той обича да нарежда магнити с номера и ме хваща да ме пита кой пореден номер е, особено когато номерата отиват към милионите. Той разбра какво е числото от играта с магнитите за хладилници. Научи какво са четни и нечетни номера покрай разходките ни навън, когато започна да обръща внимание на номерата на къщите. Също така се научи да брои през едно покрай предсказването на номера на следващата къща. Никога не е правил никаква формална аритметика, нито пък е писал числа.

 

• Кати написа: „Нашият най-голям син, който е на 6, винаги е бил очарован от числата. Той можеше да брои до 199 преди да навърши 4 години. Обожава да брои, както и аз да му броя, както и да прати ритмични движения с тялото си. Той скача, докато аз броя или пък Започна да брои, когато пожела да знае колко много неща би имал, ако удвои тези, които вече има. Така преминахме през фаза на удвояване!“

В своята продължителна математическа игра, малките деца често откриват основните концепции на смятането, изваждането, умножението, делението и др. След като вече разполагат с това знание на концептуално ниво, действителните начини за извършване на тези операции идват лесно. Ето някои цитата от много истории, които подкрепят тази идея:

В продължаващата математическа игра малките деца често откриват основните понятия за добавяне, изваждане, умножаване, разделяне и др. След като имат концепциите, действителните начини за извършване на тези операции идват лесно. Ето няколко цитати от многото истории, които подкрепят тази идея:

• Джанет ни писа за своята малка дърщеря: „Тя разви умения за броене за броене както повечето деца го правят – използвайки пръсти, храна и играчки, и части от игри и фигурки от настолни игри и компютърни игри…Това естествено доведе до събиране и изваждане с пръсти и обекти и всичко започна да се случва в главата й…Често, сякаш съвсем от нищото, тя задава въпроси като: Четири плюс десет равно на 14 ли е?“ Аз казвам: „Да“. Тя: „Тогава пет плюс десет прави 15, а седем плюс десет – 17?“ Тя бързо намери моделите в смятането и изваждането на числа и започна да прилага тези правила, които откри сама, и увеличи стойността им чрез самото им използване. Този истински интерес към числата и моделите беше най-забележим през седмата й година…Аз самата бях доста ужасена от математиката като ученик и тинейджър, но трябва да кажа, че опита и преживяването при наблюдаването и говоренето с дъщеря ми, ми дадоха нова оценка за математиката и острота на ума, по отношение на изчисленията, която никога преди не съм изпитвала. Аз също видях истинската красота в разгръщането на нейните отношения с числата.“

 

• Лоли, която е ънскулинг майка ми написа следното: „Това се случи точно преди две минути. Моят най-малък син, който е на 5 години, строеше с Лего, докато аз бях в друга стая. Той ме повика с усмивка на лицето, докато скачаше на дивана и каза: „Мамо! Колко е 4 плюс 4 плюс 4 плюс 4?“ Аз казах – „16“. Той се усмихна и каза: „А колко е 8 плюс 8?“. Аз казах: „16“. Той се усмихна още повече и каза: „Колко е 2 плюс 2 плюс 2–„ и продължи точно до този брой двойки, който прави 16. Беше ясно, че той знае отговорите на тези въпроси, още преди да ги е попитал. Това не бяха запаметени неща от нещо, което му е било преподадено, но модели, които беше открил сам от играта с Лего и играта наоколо с числата в главата му и по пръстите му. И той бе развълнуван да манипулира числата съвсем сам. За него, всичко бе игра!“

 

• Ал написа за нейния малък син: „Когато беше на 3 или 4, един ден той отиде до хола, където имаме огромен прозорец и забеляза, че там има четири реда от седем стъкла. „Значи, – така каза той – ако преброя до 7 четири пъти, това прави 28!“ Не мисля, че някога бяхме говорили за умножаване до този момент, но той беше проумял съвсем по същество как работи умножението и как да го прави сам, за да разгледа подредбата на квадратните прозорци. Започна да експериментира съвсем сам, поставяйки копчета в редове, оформени като стъклата на прозорците. Все още трябваше да преброи (пресметне) повечето от отговорите си, защото не ги беше запаметил като готови числа в паметта си, но разбираше как работи всичко и какво означава.“

 

• А Барбара написа това за своята малка ънскулвана дъщеря: „Тя точно беше започнала да ми казва какви игри играят с нейната приятелка, когато изведнъж и двете застинаха тихи за няколко минути. И внезапно, тя възкликна доста развълнувано: „О, разбирам го!“ Попитах я какво има предвид и тя отговори: „Разбирам делението!…“… След което продължи като ми обясни, че когато имаш едно цяло от нещо и искаш да го разделиш на някакъв брой еднакви части, това е деление. Преди това момент ние никога не бяхме играли с деление. Никога не й бях давала някакви проблеми за решаване, нито бях обяснявала какво е това…Моята история не обяснява как тя е научила тези математически концепции. Но знам, че нашият начин на живот й е дал възможност да интегрира видяно и чуто, да размишлява, да се чуди за нещата, които вижда и чува в света около себе си. По свой си начин тя прави връзките, открива моделите и тества теориите си. И аз съм сигурна, че когато „получи“ нещо (като знание, когато разбере нещо – бел.ред.), тя ще го помни и ще го използва, понеже наистина е нейно откритие!“

 

• Аурора написа за нейния син: „Една вечер, когато беше на 7, той донесе вкъщи пакет Скитълс. Като много други деца, той обича да ги поставя върху чиния, да ги сортира по цвял и да си играе с тях. В този ден той имаше девет останали и ги подреди в три редици по три. След това каза: „Знае ли, числото девет е квадрат.“ Аз му казах, че това се нарича „квадратно число“ и че също така може да направи квадрат с четири редици от по четири. Така той започна да прави все по-големи и по-големи квадрати…Когато започна да става непрактично да правим квадрати със скитълс (заради това, че са твърде големи), или защото просто се отегчи да прави това, той започна да използва калкулатор, за да намери още квадратни числа и да ги записва.“

Някои читатели несъмнено си мислят следното: „ Добре, един добър учител може да използва подобни демонстрации, за да преподава математика и по този начин да помогне на децата да учат по-бързо и ефективно, отколкото когато го правят чрез самооткривателство (self-discovery).“ Но проблемът с такива разсъждения е, че всяко дете е различно и никой учител, без значение колко е брилянтен, не може да влезе в съзнанието на всяко дете и да измисли точно този трик, който ще ангажира този ум в точно този момент! Ето затова самоорганизираното учене (self-learning)- учене, в което детето води и учене, за което детето си отговоря – е винаги, в дългосрочен аспект, по-ефективно и трайно от всичко, което може да бъде преподадено дори от най-блестящия учител!

Очаквайте продължение.

* Бележка от автора на блога: Никога не съм си давала реална сметка колко много хора мразят математиката (или не я разбират, или са отблъснати, или отвратени от нея) – макар че аз съм една от тях. Давала съм си сметка за причината – заради начина, по който им е представена и поднесена, заради начина, по който са я учили, заради начина, по който са били натискани да я учат и да бъдат много добри в нея (а не всички сме еднакво добри във всичко). Но си дадох реална сметка сега, когато потърсих в гугъл картинка, която да използвам за илюстрация към този материал и попаднах на множество картинки с МРАЗЯ МАТЕМАТИКАТА и подобни…направих си колекция от някои от тях и искам да ги споделя с вас.

P.S. Когато ги разглеждах, първо ми беше смешно, а после осъзнах, че ми е тъжно – защото аз наистина вярвам, че в математиката има очарование, че е нещо забавно и интересно. Просто не съм я изпитала никога по този начин…както, очевидно, и много други хора…преценете сами: